Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的一个焦点是F（

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的一个焦点是F（1，0），且离心率为 1 2 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y 0 ），求y 0 的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得 c=1． 因为椭圆C的离心率 e= c a = 1 2 ， 所以a=2，c=2，b 2 =a 2 -c 2 =3． 故椭圆C的方程为  x 2 4 + y 2 3 =1 ． （Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y 0 =0． 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）． 由  y=k(x-1) 3 x 2 +4 y 2 =12 消去y整理得 （3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4（k 2 -3）=0． 设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），线段MN的中点为Q（x 3 ，y 3 ）， 则  x 1 + x 2 = 8 k 2 3+4 k 2 ． 所以  x 3 = x 1 + x 2 2 = 4 k 2 3+4 k 2 ， y 3 =k( x 3 -1)= -3k 3+4 k 2 ． 线段MN的垂直平分线方程为 y+ 3k 3+4 k 2 =- 1 k (x- 4 k 2 3+4 k 2 ) ． 在上述方程中令x=0，得 y 0 = k 3+4 k 2 = 1 3 k +4k ． 当k＜0时， 3 k +4k≤-4 3 ；当k＞0时， 3 k +4k≥4 3 ． 所以 - 3 12 ≤ y 0 ＜0 ，或 0＜ y 0 ≤ 3 12 ． 综上：y 0 的取值范围是 [- 3 12 ， 3 12 ] ．