Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y，等式f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立，若数

已知函数y=f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y，等式f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立，若数列{a n }满足a 1 =f(0)，且 ，则a 2011 的值为 A．4017 B．4018 C．4019 D．4021

Answer 1

D

因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=( ) x ，从而很容易地求得则a 1 =f（0）=1，再由 f(a n+1 )= （n∈N * ），得到a n+1 =a n +2，由等差数列的定义求得结果． 解：根据题意，不妨设f（x）=( ) x 则a 1 =f（0）=1， ∵f(a n+1 )= （n∈N * ）， ∴a n+1 =a n +2 ∴数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列 ∴a n =2n-1 ∴a 2011 =4021 故选D