Question

已知在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB=OA，反比例函数y=kx的图象经过点A．（

已知在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB=OA，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）当点B的坐标为（6，0）时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B也在反比例函数y=kx的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求mn的值．

Answer 1

解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，
∵OA=AB，∠OAB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC=

1

2

OB=3，
∴A（3，3），
将x=3，y=3代入反比例解析式得：3=

k

3

，即k=9，
则反比例解析式为y=

9

x

；

（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，

∠AOE＝∠BAD ∠AEO＝∠BDA＝90° AO＝BA

，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=n，OE=AD=m，
∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，
则B（m+n，n-m）；

（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m），
整理得：n²-m²=mn，即（

m

n

）²+

m

n

-1=0，
这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴

m

n

=

?1± 5

2

，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
则

m

n

=

5 ?1

2

．