Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两个根（x1＜x2），且点C的坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）请直接写出直线AC和BC的解析式；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设直线y=kx+2k（k＞0）与线段OC交于点D，与（1）中的抛物线交于点E，若S△CDE=S△AOE，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，

4a?2b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝? 1 2 b＝ 1 2 c＝3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直线AC的解析式：y＝

3

2

x+3；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

＝

|EC|

|OC|

，
即

m

5

＝

3?m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵点P在直线AC上，
∴

2

3

x_P+3=