Question

（2014?永州三模）如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AP=BC=2，AB=3，CD=1，E

（2014?永州三模）如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AP=BC=2，AB=3，CD=1，E、F、M分别是BC、PA、PD的中点．（1）求证：EF∥面PCD；（2）N是AB上一点，且MN⊥面PCD，求二面角M-PC-N的余弦值．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）证明：取PB中点G，连接GE，GF，
∵E、F、M分别是BC、PA、PD的中点，
∴GE∥PC，GF∥AB，
∵AB∥CD，∴GF∥CD，又FG与GE交于点G，
∴面EFG∥面PCD，∴EF∥面PCD．…（6分）
（2）解：如图以B为坐标原点，BA，BC所在直线为x，y轴，
以过B垂直于底面向上的方向为z轴，建立直角坐标系，
由题意知P（3，0，2），C（0，2，0），D（1，2，0），M（2，1，1），…（6分）
设N（t，0，0），则

MN

＝(t?2，?1，?1)，

CD

＝(1，0，0)，
由MN⊥面PCD知：

MN

?

CD

=（t-2，-1，-1）?（1，0，0）=0，解得t=2，
面PCD的法向量为

MN

＝(0，?1，?1)，…（9分）
设面NPC的法向量为

m

＝(x，y，z)，
∵

PN

＝(?1，0，?2)，

PC

＝(?3，2，?2)，
∴