Question

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD=BD，∠ADB=∠ACB=90°，AE=2BC．（1）求证：BC=CD；（2）求

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD=BD，∠ADB=∠ACB=90°，AE=2BC．（1）求证：BC=CD；（2）求证：AC平分∠BAD．

Answer 1

证明：（1）分别延长AD和BC，使延长线交于点F，
∵在△BCE中，∠BCE=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∵在△ADB中，∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△AED和△BFD中

∠ADE＝∠BDF＝90° ∠3＝∠4 AD＝BD

∴△AED≌△BFD（AAS），
∴AE=BF，
又∵AE=2BC，
∴BF=2BC，
∴BC=CF，即点C为BF的中点
∴DC是直△BDF斜边BF上的中线，
∴BC=CD．

（2）在△BCA和△FCA中，

AC＝AC ∠ACB＝∠ACF＝90° CB＝CF

，
∴△BCA≌△FCA（SAS），
∴∠3=∠5，
即AC平分∠BAD．