Question

已知Sn为数列{an}的前n项和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．（Ⅰ） 求数列{an}的通项an；（Ⅱ） 若bn＝n

已知Sn为数列{an}的前n项和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．（Ⅰ） 求数列{an}的通项an；（Ⅱ） 若bn＝n4an，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）是否存在最小正整数m，使得不等式nk＝1k+2Sk?(Tk+k+1)＜m对任意正整数n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2，…（1分）
当n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，
两式相减得a_n+1=2a_n，…（2分）
又a₂=2a₁，∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n?1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知an＝2n?1，
bn＝

n

4an

＝

n

4?2n?1

=

n

2n+1

，
∴Tn＝

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn＝

1

23

+

2

24

+…+

n?1

2n+1

+

n

2n+2

，
两式相减得

1

2

Tn＝

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

?

n

2n+2

=

1 22 (1? 1 2n )

1? 1 2

?

n

2n+2

=

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