Question

已知函数f（x）=x3-3ax（a≥13）．（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]

已知函数f（x）=x3-3ax（a≥13）．（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）．

Answer 1

（1）当a=1时，f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1．
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0，
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时f'（x）＞0．
∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）的极小值为f（1）=-2．…（4分）
（2）因g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上为偶函数，
故只求在[0，1]上的最大值即可．
∵a≥

1

3

，x∈[0，1]，
∴f（x）=x(x?

3a

)(x+

3a

)≤0，
∴g（x）=|f（x）|=-f（x）．
g′(x)＝?f′(x)＝?(3x2?3a)＝?3(x+

a

)(x?

a

)．
①当a≥1时，g'（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=g（1）=-f（1）=3a-1．…（8分）
②当

1

3

≤a＜1时，g（x）=|f（x）|=-f（x）在[0，

a

]上单调递增，
在[

a

，1]上单调递减，故F(a)＝g(

a

)＝?f(

a

)＝2a

a

．…（12分）
F(a)＝

2a a   1 3 ≤a＜1 3a?1 a≥1

…（14分）