Question

如图所示，半径R=0.45m 的光滑14圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧

如图所示，半径R=0.45m 的光滑14圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=2kg，长度为 0.5m，小车的上表面与B点等高，距地面高度为0.2m．质量 m=1kg 的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放．g 取10m/s2．试求：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力；（2）若将平板车锁定并且在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化如图乙所示，求物块滑离平板车时的速度；（3）若撤去平板车的锁定与上表面铺的材料，此时物块与木板间的动摩擦因数为815，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，请通过分析判断物块能否滑离平板车．若不能，请算出物块停在距平板车左端多远处；若能，请算出物块落地时距平板车右端的水平距离．

Answer 1

（1）物体从圆弧轨道顶端滑到B点的过程中，机械能守恒，则
mgR＝

1

2

mvB2，解得v_B=3m/s．
在B点由牛顿第二定律得，N-mg=m

vB2

R

解得N=mg+m

vB2

R

=30N
即物块滑到轨道上B点时对轨道的压力N′=N=30N，方向竖直向下．
（2）物块在小车上滑行时的摩擦力做功Wf＝?

μ1mg+μ2mg

2

l＝?2J
从物体开始滑到滑离平板车过程中由动能定理得，mgR+Wf＝

1

2

mv2
解得v=

5

m/s
（3）当平板车不固定时，对物块a1＝μg＝

16

3

m/s2．
对平板车a2＝

μmg

M

＝

8

3

m/s2
设物块与平板车经过时间t达到共同速度（物块在平板车最左端的速度v_C=v_B），有
v_c-a₁t=a₂t，解得t=

3

8

s
此时△s＝vct?

1

2

a1t2?

1

2

a2t2=

9

8

m＞0.5m，所以物块能滑离平板车．
设经过时间t₁物块滑离平板车，则vct1?

1

2

a1t12?

1

2

a2t12＝0.5m
解得t1＝

1

4

s（另一解t2＝

1

2

s＞

3

8

s舍去）
物块滑离平板车时的速度v_物=v_c-a₁t₁=

5

3

m/s．
此时平板车的速度v车＝a2t1＝

2

3

m/s．
物块滑离平板车做平抛运动的时间t3＝

2h g

＝0.2s
物块落地时距平板车右端的水平距离x=（v_物-v_车）t₃=0.2m．
答：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力为30N．
（2）物块滑离平板车时的速度

5

m/s．
（3）能滑离平板车，物块落地时距平板车右端的水平距离为0.2m．

Answer 2

（1）物体从圆弧轨道顶端滑到B点的过程中，机械能守恒，则
mgR＝1 2 mvB2，解得vB=3m/s．在B点由牛顿第二定律得，N-mg=mvB2 R
解得N=mg+m
vB2
R =30N
即物块滑到轨道上B点时对轨道的压力N′=N=30N，方向竖直向下．
（2）物块在小车上滑行时的摩擦力做功Wf＝−μ1mg+μ2mg 2 l＝−2J从物体开始滑到滑离平板车过程中由动能定理得，mgR+Wf＝1 2
解得v=5 m/s
（3）当平板车不固定时，对物块a1＝μg＝16 3 m/s2．对平板车a2＝μmg ＝8 3 m/s2设物块与平板车经过时间t达到共同速度（物块在平板车最左端的速度vC=vB），有
vc-a1t=a2t，解得t=3 8 s此时△s＝vct−1 2 a1t2−1 2 a2t2=9 8
m＞0.5m，所以物块能滑离平板车．
设经过时间t1物块滑离平板车，则vct1−＝1 2 s＞3 8
s舍去）
物块滑离平板车时的速度v物=vc-a1t1=5 3 m/s．
此时平板车的速度v车＝a2t1＝2 3 m/s．
物块滑离平板车做平抛运动的时间t3＝2h g ＝0.2s
物块落地时距平板车右端的水平距离x=（v物-v车）t3=0.2m．
答：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力为30N．
（2）物块滑离平板车时的速度
5
m/s．
（3）能滑离平板车，物块落地时距平板车右端的水平距离为0.2m．