Question

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[ - π 4 ， π 4 ]；（1）求向

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[ - π 4 ， π 4 ]；（1）求向量 OP 和 OQ 的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；（2）求cosθ的最值．

Answer 1

（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1）， ∴ OP  =（1，cosx）， OQ =（cosx，1） ∴ OP ? OQ =2cosx，| OP || OQ |=1+cos 2 x ∴ cosθ= OP ? OQ | OP || OQ | = 2cosx 1+co s 2 x =f（x）　 （2）f（x）= cosθ= OP ? OQ | OP || OQ | = 2cosx 1+co s 2 x = 2 cosx+ 1 cosx 且x∈[ - π 4 ， π 4 ] ∴cos θ∈[ 2 2 ，1] 　 令g（x）=x+ 1 x 设x 1 ，x 2 ∈[ 2 2 ，1] ，且x 1 ＜x 2 ∵ g ′ (x)=1- 1 x 2 ＜0在[ 2 2 ，1 ]上恒成立（此处也可以利用单调性的定义判断） ∴g（x）=x+ 1 x 在[ 2 2 ，1 ]上是减函数． ∴ 2≤cosx+ 1 cosx ≤ 3 2 2 ∴ 2 2 3 ≤f(x)≤1 　即 2 2 3 ≤cosθ≤1