Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。试建立适当的直角坐标系，解决下列问题： （1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

Answer 1

（1） ；（2）详见解析

试题分析：（1）由已知得 ，又 ，则根据斜率的关系，且过点（2，0），可求 ，分别求直线与 的交点 的坐标，进而可求以 为直径的圆的方程；（2） 设 ，由直线 和 的方程，分别求与 的交点，得 ，利用勾股定理求以 为直径的圆截 轴的弦长为 ，长度为定值，故圆过定点 .（1、该题还可以根据两直线的垂直关系设直线方程，斜率分别为 和 ，方法如上；2、对于探索型和开放型题目，大胆的猜想和必要的论证是解决问题非常好的方法）. 试题解析：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为 ，直线L的方程为 . （1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为 ，∴ ， ,将x=4代入，得 ,∴MN的中点坐标为（4，0），MN= ,∴以MN为直径的圆的方程为 ,同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是 ； （2）设点P的坐标为 ，∴ （ ），∴ ，∵ ，将x=4代入，得 ， ，∴ ，MN= ，MN的中点坐标为 ， 以MN为直径的圆 截x轴的线段长度为 为定值。∴⊙ 必过⊙O内定点 .