Question

设函数 f(x)=sin(x+ π 6 )+2si n 2 x 2 ．（Ⅰ）求f（x）的对称中心及单调递减

设函数 f(x)=sin(x+ π 6 )+2si n 2 x 2 ．（Ⅰ）求f（x）的对称中心及单调递减区间；（Ⅱ） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=1， c= 3 ，求b的值及△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）= 3 2 sinx+ 1 2 cosx+1-cosx= 3 2 sinx- 1 2 cosx+1=sin（x- π 6 ）+1， 令x- π 6 =kπ，k∈Z，解得：x=kπ+ π 6 ，k∈Z， ∴f（x）的对称中心为（kπ+ π 6 ，1）k∈Z， 令2kπ+ π 2 ≤x- π 6 ≤2kπ+ 3π 2 ，k∈Z，解得：2kπ+ 2π 3 ≤x≤2kπ+ 5π 3 ，k∈Z， 则函数的单调递减区间为[2kπ+ 2π 3 ，2kπ+ 5π 3 ]，k∈Z； （Ⅱ）∵f（A）=sin（A- π 6 ）+1=1， ∴sin（A- π 6 ）=0， ∴A- π 6 =0，即A= π 6 ， 又a=1，c= 3 ， ∴由余弦定理a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA得：1=b 2 +3-3b， 解得：b=1或b=2， 当b=1时，S= 1 2 bcsinA= 3 4 ；当b=2时，S= 1 2 bcsinA= 3 2 ．