Question

设函数f（x）=alnx+bx2+x的极值点是x=1和x=2．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[1，3]上的最大值

设函数f（x）=alnx+bx2+x的极值点是x=1和x=2．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=alnx+bx²+x，
∴f′(x)＝

a

x

+2bx+1，
由题意得f'（1）=0=f'（2），
∴

a+2b+1＝0 a 2 +4b+1＝0

，解得∴

a＝? 2 3 b＝? 1 6

．
（2）由（1）知f(x)＝?

2

3

lnx?

1

6

x2+x，
f′(x)＝?

2

3x

?

x

3

+1＝

?(x2?3x+2)

3x

＝

?(x?1)(x?2)

3x

(x＞0)，
∴在（1，2）内f'（x）＞0，
在（2，3）内，f'（x）＜0，
∴在[1，2]上f（x）单调增，
在（2，3]上f（x）单调减，
∴在[1，3]上f（x）最大值是f(2)＝

4

3

?

2

3

ln2．