已知函数f(x)≥|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.(Ⅰ)当a=1时,解不等式:f(x)>2;(Ⅱ若b∈R且b≠0,证
已知函数f(x)≥|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.(Ⅰ)当a=1时,解不等式:f(x)>2;(Ⅱ若b∈R且b≠0,证明:f(b)≥f(a),并说明等号成立时满足...
已知函数f(x)≥|x-2a|+|x-a|,a∈R,a≠0.(Ⅰ)当a=1时,解不等式:f(x)>2;(Ⅱ若b∈R且b≠0,证明:f(b)≥f(a),并说明等号成立时满足的条件.
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(Ⅰ)因为a=1,所以原不等式为|x-2|+|x-1|>2,
当x≤1时,原不等式化简为1-2x>0,即x<
;
当1<x≤2时,原不等式化简为1>2,即x∈?;
当x>2时,原不等式化简为2x-3>2,即x>
.
综上,原不等式的解集为{x|x<
或x>
}.…5分
证明:(Ⅱ)由题知f(a)=|a|,
f(b)=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|,
所以f(b)≥f(a),8分
又等号成立当且仅当2a-b与b-a同号或它们至少有一个为零.…10分
当x≤1时,原不等式化简为1-2x>0,即x<
1 |
2 |
当1<x≤2时,原不等式化简为1>2,即x∈?;
当x>2时,原不等式化简为2x-3>2,即x>
5 |
2 |
综上,原不等式的解集为{x|x<
1 |
2 |
5 |
2 |
证明:(Ⅱ)由题知f(a)=|a|,
f(b)=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|,
所以f(b)≥f(a),8分
又等号成立当且仅当2a-b与b-a同号或它们至少有一个为零.…10分
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