如图，如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证
如图，如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）若PD与平面ABCD所成...
如图，如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）若PD与平面ABCD所成角为60°，且AD=2，AB=4，求点A到平面PED的距离．
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解答：（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF，OE．
由已知得OF∥DC且OF＝
DC，
又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，∴AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（II）解法一：设A平面PED的距离为d，
因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA＝ADtan60o＝2
，PD＝
＝4，
又因为AB=4，E是AB的中点所以AE=2，
PE＝
＝4，DE＝
＝2
．
作PH⊥DE于H，因PD＝PE＝4，DE＝2
，
则DH＝
，PH＝
＝
，
则S△ADE＝
×AD?AE＝2，S△PDE＝
×PH?DE＝2
因VP-AED=VA-PDE
所以d＝
＝
＝
，
（Ⅱ）解法二：因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA＝ADtan60o＝2
，PD＝
＝4，
又因AB=4，E是AB的中点所以AE=2=AD，
PE＝
＝4，DE＝
＝2
．
作PH⊥DE于H，连接AH，因PD=PE=4，则H为DE的中点，故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH，所以平面PDE⊥平面PAH，作AG⊥PH于G，
则AG⊥平面PDE，所以线段AG的长为A平面PED的距离．
又DH＝
，PH＝
＝
由已知得OF∥DC且OF＝
| 1 |
| 2 |
又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，∴AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（II）解法一：设A平面PED的距离为d，
因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA＝ADtan60o＝2
| 3 |
| AD |
| cos60o |
又因为AB=4，E是AB的中点所以AE=2，
PE＝
| PA2+AE2 |
| DA2+AE2 |
| 2 |
作PH⊥DE于H，因PD＝PE＝4，DE＝2
| 2 |
则DH＝
| 2 |
| PD2?DH2 |
| 14 |
则S△ADE＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
因VP-AED=VA-PDE
所以d＝
| PA?S△ADE |
| S△PDE |
2
| ||
2
|
2
| ||
| 7 |
（Ⅱ）解法二：因PA⊥平面ABCD，故∠PDA为PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA＝ADtan60o＝2
| 3 |
| AD |
| cos60o |
又因AB=4，E是AB的中点所以AE=2=AD，
PE＝
| PA2+AE2 |
| DA2+AE2 |
| 2 |
作PH⊥DE于H，连接AH，因PD=PE=4，则H为DE的中点，故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH，所以平面PDE⊥平面PAH，作AG⊥PH于G，
则AG⊥平面PDE，所以线段AG的长为A平面PED的距离．
又DH＝
| 2 |
| PD2?DH2 |
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