Question

已知函数f（x）=a x-a +1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函

已知函数f（x）=a x-a +1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在[1，9]的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2] 2 ≤h（x 2 ）+m+2 恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=a x-a +1，知令x=a，则f（a）=2， 所以f（x）恒过定点（a，2）， 由题设得a=3； （2）由（1）知f（x）=3 x-3 +1， 将f（x）的图象向下平移1个单位，得到m（x）=3 x-3 ， 再向左平移3个单位，得到g（x）=3 x ， 所以函数g（x）的反函数h（x）=log 3 x． （3）[h（x）+2] 2 ≤h（x 2 ）+m+2，即[log 3 x+2] 2 ≤ lo g 3 x 2 +m+2， 所以 (lo g 3 x ) 2 +2log 3 x+2-m≤0， 令t=log 3 x，则由x∈[1，9]得t∈[0，2]， 则不等式化为t 2 +2t+2-m≤0， 不等式[h（x）+2] 2 ≤h（x 2 ）+m+2 恒成立，等价于t 2 +2t+2-m≤0恒成立， 因为t 2 +2t+2-m=（t+1） 2 +1-m在[0，2]上单调递增， 所以t 2 +2t+2-m≤2 2 +2×2+2-m=10-m， 所以10-m≤0，解得m≥10． 故实数m的取值范围为：m≥10．