Question

如图，过抛物线C：y 2 ＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x ， y 1 )，B(

如图，过抛物线C：y 2 ＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x ， y 1 )，B(x 2 ，y 2 )． (1)求y 1 ＋y 2 的值；(2)若y 1 ≥0，y 2 ≥0，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

（1）y 1 ＋y 2 ＝4.（2）6

(1)因为A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )在抛物线C：y 2 ＝4x上，所以A ，B ，k PA ＝ ，同理k PB ＝ ，依题意有k PA ＝－k PB ，因为 ＝－ ，所以y 1 ＋y 2 ＝4 (2)由(1)知k AB ＝ ＝1，设AB的方程为y－y 1 ＝x－ ，即x－y＋y 1 － ＝0，P到AB的距离为d＝ ，AB＝ · ＝ |y 1 －y 2 |＝2 |2－y 1 |，所以S △PAB ＝ × ×2 |2－y 1 |＝ | －4y 1 －12||y 1 －2|＝ |(y 1 －2) 2 －16|·|y 1 －2|，令y 1 －2＝t，由y 1 ＋y 2 ＝4，y 1 ≥0，y 2 ≥0，可知－2≤t≤2.S △PAB ＝ |t 3 －16t|，因为S △PAB ＝ |t 3 －16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t 3 －16t|＝16t－t 3 ，f′(t)＝16－3t 2 >0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6