Question

如图所示，为了测量河对岸地面上A，B两点间的距离，某人在河岸边上选取了C，D两点，使得CD⊥AB，且CD=500

如图所示，为了测量河对岸地面上A，B两点间的距离，某人在河岸边上选取了C，D两点，使得CD⊥AB，且CD=500（米）现测得∠BCD=α，∠BDC=β，∠ACD=60°，其中cosα=35，tanβ=2．求：（1）sin∠CBD的值；（2）A，B两点间的距离（精确到1米）．（参考数据3≈1.73）

Answer 1

（1）∵cosα＝

3

5

，α为锐角，∴sinα＝

4

5

∵tanβ=2，β锐角，∴sinβ＝

2

5

，cosβ＝

1

5

（3分）
sin∠CBD=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

1

5

+

3

5

×

2

5

＝

2 5

5

（5分）
（2）在△BCD中，由

BC

sinD

＝

CD

sin∠CBD

得BC＝sinD?

CD

sin∠CBD

＝

2

5

?

500

2 5 5

＝500（7分）
∴sin∠ACB＝sin(600?α)＝

3

2

×

3

5

?

1

2

×

4

5

＝

3 3 ?4

10

（9分）
由AB⊥CD，∠ACD=60°，得∠A=30°（11分）
△ABC中，由

AB

sin∠ACB

＝

BC

sinA

，
得AB＝sin∠ACB×

BC

sinA

＝

3 3 ?4

10

×

500

1 2

＝300

3

?400≈119（米），
答：A、B两点间距离约为119米．