Question

数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{an}

数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Cn=bn+2an+2（n∈N*），求证Cn+1＜Cn≤13．

Answer 1

（1）①当n≥2时，由a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
由a₁=1，∴a₂=2a₁+1=3=3a₁．
∵a₁=1≠0，∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴an＝1×3n?1．
②等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．设公差为d，则

b1+2d＝3 b1+4d＝9

，解得

b1＝?3 d＝3

．
∴b_n=-3+（n-1）×3=3n-6．
（2）由（1）可得cn＝

3(n+2)?6

3n+1

=

n

3n

．
∴cn+1＝

n+1

3n+1

＝

n+1 3

3n

＜

n

3n

=c_n．
∵3ⁿ=（1+2）ⁿ=n+

C

1 n

×2+…+2ⁿ≥3n，
∴cn＝

n

3n

≤

1

3

．