Question

设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P(X＝0)＝13，P(X＝1)＝23，且X，Y的相关系数ρXY＝12．（1

设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P(X＝0)＝13，P(X＝1)＝23，且X，Y的相关系数ρXY＝12．（1）求二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；（2）求概率P（X+Y≤1）．

Answer 1

（1）
由于X，Y的概率分布相同，
故：P(X＝0)＝

1

3

，P(X＝1)＝

2

3

，P(Y＝0)＝

1

3

，P(Y＝1)＝

2

3

，
显然：EX＝EY＝

2

3

，DX＝DY＝

2

9

，
相关系数：ρXY＝

1

2

＝

COV(X，Y)

DX DY

＝

E(XY)?EXEY

DX DY

＝

E(XY)? 4 9

2 9

，
所以：E(XY)＝

5

9

．
而：E（XY）=1×1×P（X=1，Y=1），
所以：P(X＝1，Y＝1)＝

5

9

，
从而：
P（X=1，Y=0）=P（X=1）-P（X=1，Y=1）=

1

9

，
P（X=0，Y=1）=P（Y=1）-P（X=1，Y=1）=

1

9

，
P（X=0，Y=0）=P（X=0）-P（X=0，Y=1）=

2

9

．  
综上可得，（X，Y）的联合概率分布为：
P(X＝1，Y＝1)＝

5

9

，P(X＝0，Y＝1)＝

1

9

，P(X＝1，Y＝0)＝

1

9

，P(X＝0，Y＝0)＝

2

9

．

（2）
由（1）可得：
P(X+Y≤1)＝1?P(X+Y＞1)＝1?P(X＝1，Y＝1)＝

4

9

．