Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°； 在△BOE中，OB=OE，∠B=60°， ∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°， ∴∠BOE=∠A=60°， ∴OE ∥ AC（同位角相等，两直线平行）； ∵EF⊥AC， ∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线； （2）连接DF． ∵DF与⊙O相切， ∴∠ADF=90°． 设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4-r，AD=4-2r． 在Rt△ADF中，∠A=60°， ∴AF=2AD=8-4r． ∴FC=4r-4； 在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC， ∴4-r=2（4r-4）， 解得，r= 4 3 ； ∴⊙O的半径是 4 3 ．