Question

如图1，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A、B、C三

如图1，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=x+b与Rt△ABC相交，所截得的三角形面积是原Rt△ABC面积的 3 10 ，求b的值；（3）将△OAC绕原点O逆时针旋转90°后得到△OEF，如图2，再将△OEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M、N、Q分别与点E、F、O对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB， ∴△OAC ∽ △GCF． ∴ OA OC = OC OB ，即OC 2 =OA?OB ∵OA：OB=1：4，OC=2 ∴OA=1，OB=4 ∴A（-1，0），B（4，0） 设抛物线的解析式是y=a（x+1）（x-4）， 把C（0，2）坐标代入 得2=a（0+1）（0-4），a=- 1 2 ， ∴抛物线的解析式是y=- 1 2 （x+1）（x+4）=- 1 2 x 2 + 3 2 x+2． （2）由B（4，0）、C（0，2）得直线BC解析式为y=- 1 2 x+2； 当直线y=x+b过点A时，b=1，由 y=x+1 y=- 1 2 x+2 ， 得交点H（ 2 3 ， 5 3 ）， 则S △ABH = 1 2 ×5× 5 3 = 25 6 ＞ 3 10 ×5 S △ACH =S △ABC -S △ABH = 5 6 ＜ 3 10 ×5 ∴直线y=x+b只能与BC相交． 直线y=x+b与x轴交于点G（-b，0），BG=4+b， 解方程组 y=x+b y=- 1 2 x+2 ． 得H（ 4-2b 3 ， 4+b 3 ） 根据题意得 1 2 （4+b）× 4+b 3 = 3 10 ×（ 1 2 ×5×2） 解得b=-1或b=-7 经检验，b=-7都是原方程的根，不符合题意舍去． ∴b=-1． （3）根据题意得MQ ∥ OE，NQ ∥ OF 且MQ=OE=1，NQ=OF=2， 设M（t， - 1 2 t 2 + 3 2 t+2 ）， 则N（t+2， - 1 2 t 2 + 3 2 t+1 ） 于是 - 1 2 t 2 + 3 2 t+1 -（ - 1 2 (t+2 ) 2 + 3 2 (t+2)+2 t）=1 ∴M（1，3），N（2，1）