Question

如图，在直角坐标系中，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于A. B两点，过点A作CA⊥AB，CA= ，并且作CD⊥x轴（

如图，在直角坐标系中，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于A. B两点，过点A作CA⊥AB，CA= ，并且作CD⊥x轴（1）求证：△ADC∽△BOA； （2）若抛物线y= -x 2 +bx+c 经过B、C两点①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标。

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Answer 1

解：（1）证明： ∵CD⊥AB ∴∠BAC=90° ∴∠BAO+∠CAD=90° ∵CD⊥x轴 ∴∠CDA=90° ∴∠C+∠CAD=90° ∴∠C=∠BAO 又∵∠CDO=∠AOB=90° ∴△ADC∽△BOA （2）①由题意得，A(-8，0)，B(0，4)  ∴OA=8，OB=4，AB= ∵△ADC∽△BOA，CA=    ∴AD=2，CD=4 ∴C(-10，4) 将B(0，4)，C(-10，4)代入 ∴    ∴ ②M(0， )，M(0， ) M( ，0)，M( ，0)