Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB ∥ 平

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB ∥ 平面ACE；（2）若四面体E-ACD的体积为 2 3 ，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO， ∵ABCD是正方形 ∴点O是BD的中点 又∵点E是PD的中点 ∴EO是△DPB的中位线． ∴PB ∥ EO． 又∵EO?平面ACE，PB?平面ACE ∴PB ∥ 平面ACE （2）取AD的中点H，连接EH ∵点E是PD的中点 ∴EH ∥ PA 又∵PA⊥平面ABCD ∴EH⊥平面ABCD． 设AB=x，则PA=AD=CD=x，且 EH= 1 2 PA= 1 2 x ． 所以 V E-ACD = 1 3 S △ACD ×EH = 1 3 × 1 2 ×AD×CD×EH = 1 6 ?x?x? 1 2 x= 1 12 x 3 = 2 3 解得x=2 故AB的长为2