Question

设椭圆C： （a>b>0）的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上顶点为A，过点A与AF 2 垂直的直线交x轴负半

设椭圆C： （a>b>0）的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上顶点为A，过点A与AF 2 垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 。 （1）求椭圆C的离心率；（2）若过A，Q，F 2 三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2 作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。

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Answer 1

解：（1）设Q（x 0 ，0），由F 2 （c，0），A（0，b）知 ∵ ∴ 由 ，得 ∴b 2 =3c 2 =a 2 -c 2 ， 故椭圆的离心率 。 （2）由（1）知 ，得 于是 △AQF 2 的外接圆圆心为 半径 所以由已知，得 解得a=2， ∴c=1， 所求椭圆方程为： 。 （3）由（2）知 F 2 （1，0），l：y=k（x-1）（k≠0） 由 得（3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4k 2 -12=0 由直线l与椭圆C交于M，N两点，且过椭圆C的右焦点F 2 ，P，M，N不共线知必有Δ>0，故k≠0，且k∈R则 ，y 1 +y 2 =k（x 1 +x 2 -2） （x 1 -m，y 1 ）+（x 2 -m，y 2 ）=（x 1 +x 2 -2m，y 1 +y 2 ） 由于菱形对角线垂直，则 即k（y 1 +y 2 ）+x 1 +x 2 -2m=0， 则k 2 （x 1 +x 2 -2）+x 1 +x 2 -2m=0， ∴ ∴ 故存在满足题意的点P，且m的取值范围是 。