Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．O为BD的中点、M在PD上，且BM⊥P

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．O为BD的中点、M在PD上，且BM⊥PD．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（3）求四面体O-ABM的体积．

Answer 1

（1）证明：由底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，解得BP＝2

5

＝BD
又M在PD上，且BM⊥PD，∴M为BD中点，∴AM⊥PD；
又BA⊥PA，且BA⊥AD，PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AM，
∵CD⊥AM，PD∩CD=D，∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD；
（2）解：过M做ME⊥AD于E，则ME⊥面ABO，且ME=

1

2

PA＝2，

又O为BD中点，则S△ABO＝

1

4

SABCD＝

1

4

×2×4＝2，
∴VOABM＝

1

3

S△ABO×ME＝

1

3

×2×2＝

4

3