Question

（2012?启东市模拟）如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=35，点O为BC边上

（2012?启东市模拟）如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=35，点O为BC边上的一个动点，连接OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连接MN．（1）当BO=AD时，求BP的长；（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明由；（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=

3

5

，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，
∵

BH

BO

＝cosB
∴BH=3×

3

5

＝

9

5

∴BP=

18

5

（2）不存在BP=MN的情况．
假设BP=MN成立，
因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO
设BO=x，则PO=x，OC=6-x，
由

BH

x

＝cosB＝

3

5

，得BH=

3

5

x，
∴BP=2BH=

6

5

x
∴BQ=BP×cosB=

18

25

x，PQ=

24

25

x
∴OQ=x?

18

25

x＝

7

25

x
∵△PQO∽△DCO
∴

PQ

OQ

＝

DC

OC

，即

24 25 x

7 25 x

＝

4

6?x

得x＝

29

6

当x＝

29

6

时，BP=

6

5

x=

29

5

＞5，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤

7

3

．