Question

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．（1）求双曲线的方程；（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴B(c，

b2

a

)，C(c，?

b2

a

)．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴

2b2

a

＝6…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求双曲线的方程为x2?

y2

3

＝1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y＝k(x?2) x2? y2 3 ＝1

，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0．
∴

x1+x2＝ 4k2 k2?3 x1x2＝ 4k2+3 k2?3

…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即(1+k2)

4k2+3

k2?3

+(1?2k

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