（2010?徐州）如图，已知二次函数y=?14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交

（2010?徐州）如图，已知二次函数y=?14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为______... （2010?徐州）如图，已知二次函数y=?14x2+32x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为______，点C的坐标为______；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？ 展开
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#热议# 为什么有人显老，有人显年轻？
茣諍永怪菠Chd73
推荐于2016-03-29 · TA获得超过1069个赞
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（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：?
1
4
x2+
3
2
x+4＝0，
即：x2-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．

（2）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
b＝4
8k+b＝0
，
解得
k＝?
1
2
b＝4
；
∴y=-
1
2
x+4；
①当DE=DC时，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E1（0，4）；
②过E点作EG⊥x轴于G点，
当DE=EC时，由DG=
8?3
2
=
5
2
，
把x=OD+DG=3+
5
2
=
11
2
代入到y=-
1
2
x+4，求出y=
5
4
，
可得E2（
11
2
，
5
4
）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴
EG
OA
＝
CG
OC
＝
CE
AC
，又OA=4，OC=8，则AC=4
5
，DC=EC=5，
∴EG=
5
，CG=2
5
，
∴E3（8-2
5
，
5
）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（
11
2
，
5
4
）、E3（8-2
5
，
5
）．

（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，-
1
4
m2+
3
2
m+4），则Q（m，-
1
2
m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-
1
4
m2+
3
2
m+4）-（-
1
2
m+4）=-
1
4
m2+2m，
S=S△APQ+S△CPQ=
1
2
×8×（-
1
4
m2+2m）=-（m-4）2+16，
∴0＜S≤16；
②当-2≤m＜0时，
PQ=（-
1
2
m+4）-（-
1
4
m2+
3
2
m+4）=
1
4
m2-2m，
S=S△CPQ-S△APQ=
1
2
×8×（
1
4
m2-2m）=（m-4）2-16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4
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