Question

非齐次线性方程,已知解向量求通解

设A是4阶方阵且r(A) = 3. 已知a1,a2,a3是非齐次线性方程组AX=b的三个解。若a1+a2+a3=(0,6,3,9)T 2a2-a3 = (1,3,3,3)T。求非齐次线性方程组AX=b的通解。

答案是 (1,3,3,3)T+ k(1,1,2,0)T

为什么会这么算？不能是(1,3,3,3)T+ k(0,2,1,3)T 吗？

Answer 1

这是不可以的。非齐次线性方程组的解的结构为：特解 + 导出组的基础解系。而题中给出的两组解系都是特解，根据规定，齐次线性方程组的通解为非齐次线性方程组两组特解的差，所以导出组的基础解系为： (1,3,3,3)T - (0,2,1,3)T = (1,1,2,0)T.
[a1+a2+a3=(0,6,3,9)T=（0,2,1,3)T]， 所以答案是 (1,3,3,3)T+ k(1,1,2,0)T。