Question

两道线性代数题(1，3)求详细过程

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Answer 1

(1)
求解行列式方程|A-λE|=0，得矩阵A的特征根：2 2 11

求解(A-2E)X=0的基础解系为：
(-0.5 1 0)^T
(-1 0 1)^T

一般说来重根的基础解系不一定是正交的，下面将其正交化
正交化方法如下：B1=A1
B2 = A2 -B1 x (A2，B1)/(B1,B1)

正交化后的结果是：
(-0.5 1 0)^T
(-0.8 -0.4 1)^T

将其单位化得：
(-0.44721 0.89443 0)^T
(-0.59628 -0.29814 0.74536)^T

求解(A-11E)X=0的基础解系为：
(1 0.5 1)^T

将其单位化得：
(0.66667 0.33333 0.66667)^T

将单位化后的基础解系合并，即得所求正交矩阵：
T =
-0.4472 -0.5963 0.6667
0.8944 -0.2981 0.3333
0 0.7454 0.6667
注：因为特征根的顺序不唯一，所以得到的正交矩阵T也不是唯一的

其中T^(-1)AT = T'AT =
2 0 0
0 2 0
0 0 11

(3)
求解行列式方程|A-λE|=0，得矩阵A的特征根：3 3 3 7

求解(A-3E)X=0的基础解系为：
(1 1 0 0)^T
(1 0 1 0)^T
(-1 0 0 1)^T

一般说来重根的基础解系不一定是正交的，下面将其正交化
正交化方法如下：B1=A1
B2 = A2 -B1 x (A2，B1)/(B1,B1)
B3 = A3 - B2 x (A3,B2)/(B2,B2) - B1 x (A3,B1)/(B1,B1)
B3 = A3 - B2 x (A3,B2)/(B2,B2) - B1 x (A3,B1)/(B1,B1)

正交化后的结果是：
(1 1 0 0)^T
(0.5 -0.5 1 0)^T
(-0.33333 0.33333 0.33333 1)^T

将其单位化得：
(0.70711 0.70711 0 0)^T
(0.40825 -0.40825 0.8165 0)^T
(-0.28868 0.28868 0.28868 0.86603)^T

求解(A-7E)X=0的基础解系为：
(1 -1 -1 1)^T

将其单位化得：
(0.5 -0.5 -0.5 0.5)^T

将单位化后的基础解系合并，即得所求正交矩阵：
T =
0.7071 0.4082 -0.2887 0.5000
0.7071 -0.4082 0.2887 -0.5000
0 0.8165 0.2887 -0.5000
0 0 0.8660 0.5000
注：因为特征根的顺序不唯一，所以得到的正交矩阵T也不是唯一的

其中T^(-1)AT = T'AT =
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 7

追问

其实我就是卡在特征值这里，其他步骤都懂，求特征值的时候我每次都直接展开，但是又不会因式分解，我也想过把行列式变成上三角或下三角，可是一想觉得挺麻烦的，不知道该怎么做。

追答

这没有其他方法，只能因式分解

Answer 2

又是你啊，第四题已经教你了，其他类推不会吗？

追问

能把求特征值的详细过程写下来吗？谢谢。