Question

已知函数 f(x)=cos(2x- π 3 )+2sin(x- π 4 )sin(x+ π 4 ) ．（Ⅰ）求函数

已知函数 f(x)=cos(2x- π 3 )+2sin(x- π 4 )sin(x+ π 4 ) ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间 [- π 12 ， π 2 ] 上的值域．

Answer 1

（1）∵ f(x)=cos(2x- π 3 )+2sin(x- π 4 )sin(x+ π 4 ) = 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx） = 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x+si n 2 x-co s 2 x = 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x-cos2x = sin(2x- π 6 ) ∴周期T= 2π 2 =π 由 2x- π 6 =kπ+ π 2 (k∈Z)，得x= kπ 2 + π 3 (k∈Z) ∴函数图象的对称轴方程为 x=kπ+ π 3 (k∈Z) （2）∵ x∈[- π 12 ， π 2 ] ，∴ 2x- π 6 ∈[- π 3 ， 5π 6 ] ， 因为 f(x)=sin(2x- π 6 ) 在区间 [- π 12 ， π 3 ] 上单调递增，在区间 [ π 3 ， π 2 ] 上单调递减， 所以当 x= π 3 时，f（x）取最大值1， 又∵ f(- π 12 )=- 3 2 ＜f( π 2 )= 1 2 ，当 x=- π 12 时，f（x）取最小值 - 3 2 ， 所以函数f（x）在区间 [- π 12 ， π 2 ] 上的值域为 [- 3 2 ，1] ．