Question

已知，如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明AC=AB+BD。

已知，如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明AC=AB+BD。

Answer 1

解：在线段AC上截取点E，使AE=AB，连结DE。 ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE 在△ABD和△AED中 ∴△ABD≌△AED ∴BD=DE，∠B=∠AED ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C ∵∠AED=∠C+∠EDC ∴∠C=∠EDC ∴ED=EC ∴BD=EC ∵AC=AE+EC ∴AC=AB+BD； 法二：延长线段AB至点F，使AF=AC，连结DF。 ∵AD平分∠BAC ∴∠FAD=∠CAD 又∵AC=AF AD=AD ∴△AFD≌△ACD ∴∠F=∠C ∵∠ABC=2∠C ∴∠ABC=2∠F 又∵∠ABC=∠F+∠BDF ∴∠F=∠BDF ∴BF=BD ∵AF=AB+BF ∴AF=AB+BD ∴AC=AB+BD。