Question

如图，已知二次函数y=ax 2 -4x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、点C，与y轴交于点B（0，-5）．（1）求该二

如图，已知二次函数y=ax 2 -4x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）、点C，与y轴交于点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，得 0=a×(-1 ) 2 -4×(-1)+c -5=a× 0 2 -4××0+c ， 解得 a=1 c=-5 ， 故二次函数的表达式为y=x 2 -4x-5； （2）令y=0，得二次函数y=x 2 -4x-5的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5，0）． 由于P是对称轴x=2上一点， 连接AB，由于AB= O A 2 +B O 2 = 26 ， 要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小． 由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P， 则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC． 因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点． 设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，可得： b=-5 0=5k+b ， 解得 k=1 b=-5 ， 所以直线BC的解析式为y=x-5． 因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解， 解得 x=2 y=-3 ， 所求的点P的坐标为（2，-3）． （3）存在． ∵A（-1，0），C（5，0）， ∴AC=6， ∵P（2，-3），C（5，0）， ∴PC=3 2 ， ∵B（0，-5），C（5，0）， ∴BC=5 2 ， 当△PEC ∽ △ABC， ∴ EC BC = PC AC ， ∴ EC 5 2 = 3 2 6 ， 解得：EC=5， ∴E（0，0）； 当△EPC ∽ △ABC， ∴ EC AC = PC BC ， ∴ EC 6 = 3 2 5 2 ， 解得：EC=3.6， ∴OE=5-3.6=1.4， 故E点坐标为：（1.4，0）， 综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．