Question

（本小题满分14分）设函数 .（Ⅰ）当 时，求 的极值；（Ⅱ）当

（本小题满分14分）设函数 .（Ⅰ）当 时，求 的极值；（Ⅱ）当 时，求 的单调区间；（Ⅲ）若对任意 及 ，恒有 成立，求 的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）所以 的极小值为 ，无极大值 （Ⅱ）当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 . 当 时， 在 单调递减. 当 时， 的递减区间为 ；递增区间为 . （Ⅲ）

解：（Ⅰ）依题意，知 的定义域为 . 当 时，  ， . 令 ，解得 .…………2分 当 时， ；当 时，  . 又 ，所以 的极小值为 ，无极大值 .………4分 （Ⅱ） …………5分 当 时， ， 令 ，得 或 ，令 ，得 ；…………6分 当 时，得 ，令 ，得 或 ， 令 ，得 ；当 时， .…………8分 综上所述，当 时， Ruby12138sky 推荐于2016-01-15 · TA获得超过1832个赞 知道小有建树答主 回答量：197 采纳率：50% 帮助的人：41.6万 我也去答题访问个人页 关注 设函数f（x）=lnx+ mx ，m∈R． （Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）- x3 （Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+ ex ， ∴f′（x）= x?ex2 ； ∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数； 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数； ∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+ ee =2； （Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）- x3 = 1x - mx2 - x3 （x＞0）， 令g（x）=0，得m=- 13 x3+x（x＞0）； 设φ（x）=- 13 x3+x（x≥0）， ∴φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）； 当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数， 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数； ∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点， ∴x=1是φ（x）的最大值点， ∴φ（x）的最大值为φ（1）= 23 ； 又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图； 可知： ①当m＞ 23 时，函数g（x）无零点； ②当m= 23 时，函数g（x）有且只有一个零点； ③当0＜m＜ 23 时，函数g（x）有两个零点； ④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 综上，当m＞ 23 时，函数g（x）无零点； 当m= 23 或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 当0＜m＜ 23 时，函数g（x）有两个零点； （Ⅲ）对任意b＞a＞0， f(b)?f(a)b?a ＜1恒成立， 等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立； 设h（x）=f（x）-x=lnx+ mx -x（x＞0）， ∴h（x）在（0，+∞）上单调递减； ∵h′（x）= 1x - mx2 -1≤0在（0，+∞）上恒成立， ∴m≥-x2+x=- (x? 12 ) 2 + 14 （x＞0）， ∴m≥ 零点的个数； （Ⅲ）若对任意b＞a＞0， f(b)?f(a)b?a ＜1恒成立，求m的取值范围． 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-10-13 （本题满分14分）设函数 .（1）若 ，求函数 的极值；（2 2016-01-21 （本小题满分14分）已知函数 ， .(Ⅰ)若 ，求函数 的极值；(Ⅱ)设函数 2016-11-23 （本小题满分14分）设函数 。 （1）若 在 处取得极值，求 的 2016-10-13 (本小题满分14分)设函数 .(1)若函数 在 处有极值, 2016-07-21 （本小题满分14分）已知函数 ，其中 .（Ⅰ）若 是 的极值点，求 的值；（Ⅱ）求 的单 2016-03-29 （本小题满分14分）设函数 在 及 时取得极值．（Ⅰ）求 a、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立 2016-11-30 （本小题满分14分）已知函数 ， ．（Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；（Ⅱ）当 时，讨论函数 2016-01-25 （本题满分14分）已知函数 ， ，且 ．（Ⅰ）若 ，求 的值；（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值；（Ⅲ 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

设函数f（x）=lnx+

mx

，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-

x3

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

ex

，
∴f′（x）=

x?ex2

；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+

ee

=2；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-

x3

=

1x

-

mx2

-

x3

（x＞0），
令g（x）=0，得m=-

13

x³+x（x＞0）；
设φ（x）=-

13

x³+x（x≥0），
∴φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=

23

；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
可知：
①当m＞

23

时，函数g（x）无零点；
②当m=

23

时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜

23

时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞

23

时，函数g（x）无零点；
当m=

23

或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜

23

时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，

f(b)?f(a)b?a

＜1恒成立，
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
设h（x）=f（x）-x=lnx+

mx

-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=

1x

-

mx2

-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-

(x?

12

)

2

+

14

（x＞0），
∴m≥

零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，

f(b)?f(a)b?a

＜1恒成立，求m的取值范围．