Question

（2014?浙江）如图，设椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象

（2014?浙江）如图，设椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b．

Answer 1

解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由

y＝kx+m x2 a2 + y2 b2 ＝1

，消去y得
（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b²-m²+a²k²=0，解得点P的坐标为
（-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

），
又点P在第一象限，故点P的坐标为P（

?a2k

b2+a2k2

，

b2

b2+a2k2

）．
（Ⅱ）由于直线l₁过原点O且与直线l垂直，故直线l₁的方程为x+ky=0，所以点P到直线l₁的距离
d=

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