Question

已知f(x)＝log21?x1+x（-1＜x＜1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若a，b∈（-1，1），

已知f(x)＝log21?x1+x（-1＜x＜1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)＝f(a+b1+ab)．

Answer 1

（1）函数的定义域（-1，1）关于原点对称
f(?x)＝log2

1+x

1?x

＝?log2

1?x

1+x

＝?f(x)
所以函数为奇函数
（2）f(a)+f(b)＝log2

1?a

1+a

+log2

1?b

1+b

=log2

(1?a)(1?b)

(1+a)(1+b)

=log2

1?a?b+ab

1+a+b+ab

f(

a+b

1+ab

)＝log2

1+ a+b 1+ab

1? a+b 1+ab

=log2

1+ab+a+b

1+ab?a?b

∴f(a)+f(b)＝f(

a+b

1+ab

)

Answer 2

（1）函数的定义域（-1，1）关于原点对称
f(?x)＝log2

1+x

1?x

＝?log2

1?x

1+x

＝?f(x)
所以函数为奇函数
（2）f(a)+f(b)＝log2

1?a

1+a

+log2

1?b

1+b

=log2

(1?a)(1?b)

(1+a)(1+b)

=log2

1?a?b+ab

1+a+b+ab

f(

a+b

1+ab

)＝log2

1+ a+b 1+ab

1? a+b 1+ab

=log2

1+ab+a+b

1+ab?a?b

∴f(a)+f(b)＝f(

a+b

1+ab

)