Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC-GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由．（3）点Q是抛物线上的一个动点，以Q点为圆心，以2长为半径的⊙Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．

Answer 1

（1）∵y=-x+3，
∴当y=0时，-x+3=0，解得x=3，即点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即点C的坐标为（0，3）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过B、C两点，且对称轴为直线x=2，
∴

9a+3b+c＝0 c＝3 ? b 2a ＝2

，解得

a＝1 b＝?4 c＝3

，
∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC-GB|=GC-GA=AC最大．
∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（1，0），C（0，3），
∴

k+m＝0 m＝3

，解得

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