Question

求解，用格林公式

Answer 1

1、当原点不在曲线内时,P=-y/(x²+4y²),Q=x/(x²+4y²),P、Q在L内具有一阶连续偏导数
计算得：∂P/∂y=∂Q/∂x,由格林公式易得封闭曲线上积分为0,本题结果=0
2、当原点在曲线内时,此时P、Q在(0,0)无定义,所以上面的方法不能用.
作曲线L1：x²+4y²=ε²,逆时针,ε充分小,使得L1与L不相交；
用 L1- 表示L1的反向曲线（注意负号是上标）
则P、Q在(L+L1-)所围区域内具有一阶连续偏导数,可以使用格林公式
∫(L+L1-)（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
=∫∫ (∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy
=0
因此得：∫L（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)=∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
下面计算L1上积分即可
∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
注意在L1上x²+4y²=ε²
=(1/ε²)∫L1 (xdy-ydx)
格林公式
=(1/ε²)∫∫ 2 dxdy
=(2/ε²)∫∫ 1 dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,椭圆面积为：πab=πε²/2,其中a=ε,b=ε/2
=(2/ε²)*(πε²/2)
=π

追问

有两种情况，你做错了

还一种情况是原点在该曲线内部

追答

分了1,2两种情况