Question

1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D的坐标。

1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D的坐标。 2.已知平面上A,B,C三点坐标分别为A(-2,1)B(-1,3)C(3,4),试求以A,B,C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标。 3.已知a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5)求使c=xa+yb成立的实数x与y的值。请写明详细的解题过程！！

Answer 1

（1）∵A点横坐标（绝对值）-B点横坐标（绝对值）=1
B点纵坐标-A点纵坐标=2
又∵C点坐标为（3,4）
∴D点坐标为（2,2）
（2）不是和（1）一样的吗……
（3）abc到底是坐标还是数字啊!
解析：
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出?ABCD(如图)，设顶点D的坐标为（x， y），并连结OA、OD，则＝＋。

∵＝，∴＝＋

∴（x，y）＝（－2，1）＋（3－（－1），4－3）

＝（－2，1）＋（4，1）＝（2，2）

∴顶点D的坐标为(2，2)。

解法二：(利用向量减法)

先依题意在坐标系内作出?ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，

则＝<
/b>－

∵＝，∴＝－，

∴(x,y)＝（3－（－1），4－3）－（0－（－2），0－1）＝（4，1）－（2，－1）＝（2，2）

∴顶点D的坐标为(2，2

点：平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：解法一：由平行四边形和向量相等可得：
AB
=
DC
，再利用向量的坐标运算即可得出．
解法二：由向量的平行四边形法则可得
BD
=
BA
+
BC
，再利用向量的坐标运算即可得出．
解答： 解法一：由平行四边形和向量相等可得：
AB
=
DC
，
∴
OD
=
OC
-
AB
=
OC
-
OB
+
OA
=（2，2）-（-1，3）+（-2，1）=（1，0）．
解法二：由向量的平行四边形法则可得
BD
=
BA
+
BC
，
∴
OD
-
OB
=
OA
-
OB
+
OC
-
OB
，化为
OD
=
OA
+
OC
-
OB
=（1，0）．
点评：本题考查了平行四边形的性质、向量相等、向量的平行四边形法则、向量的坐标运算，属于基础题．

析：（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又∵BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．
依题意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．设C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．继而推出点C的坐标．
（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C点的坐标为（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）．要使P1在抛物线上，
则有7c=4c2-（5c-3）×（-2c）-c，求出c的实际取值以及P1的坐标，
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），
同理可得c=1，此时P2（3，2）；
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此时P3（1，-2）；故综上所述可得解．
解答：精英家教网解：（1）（e+c，d），（c+e-a，d）．（2分）

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，
分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．
在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB1∥CC1，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．（5分）
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
设C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．（6分）
（此问解法多种，可参照评分）

（3）m=c+e-a，n=d+f-b．或m+a=c+e，n+b=d+f．（10分）

（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）．
要使P1在抛物线上，
则有7c=4c2-（5c-3）×（-2c）-c，
即c2-c=0．
∴c1=0（舍去），c2=1．此时P1（-2，7）．（11分）
若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），
同理可得c=1，此时P2（3，2）．（12分）
若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此时P3（1，-2）．（13分）
综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有P1（-2，7），P2（3，2），P3（1，-2）．（14分）
点评：考查平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．

Answer 2

因为是平行四边形，四个边都平行且相等，即BC//AD。过点B做BC`平行于X轴，同时做AD`平行于X轴。BC`\\=AD`，BC`=4=AD`，CC`=1，即DD`=1。由此可得D(2,1)

Answer 3

1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D的坐标设D(X,Y)由向量AB=向量DC，有(-1+2,3-1)=(X-3,Y-4),得D（4，6） 补充： 2.已知平面上A,B,C三点坐标分别为A(-2,1)B(-1,3)C(3,4),试求以A,B,C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标。 同1一样的吖 3.已知a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5)求使c=xa+yb成立的实数x与y的值。 c=xa+yb，那么 (3,5)=x(1,-1)+y(-1,3) 3=x-y 5=-x+3y x=7,y=4