Question

第三问求解析！

Answer 1

已知数列{an}{bn}的每一项都是正数，a1=4，b1=8且an，bn，an+1成等差数列，an，bn，an+1，bn+1成等比数列(n∈N∗)
(Ⅰ)求a2，b2；
(Ⅱ)求数列{an}{bn}的通项公式；
(Ⅲ)证明：对一切正整数n，都有1a1−1+1a2−1+…+1an−1<23.
数列与不等式的综合．
（Ⅰ）由题意得到2b1=a1+a2，a22＝b1b2，代入已知可得a2，b2的值；
（Ⅱ）由已知得2bn=an+an+1，an+12＝bnbn+1，进一步得到当n≥2时an＝
bn−1bn
，三式联立即可得到数列{
bn
}是等差数列，求出其通项后可得数列{bn}的通项公式，结合an＝
bn−1bn
得到数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）把{an}的通项公式代入
1
an−1
并整理，放大后列项，代入
1
a1−1
+
1
a2−1
+…+
1
an−1
证得答案．
(Ⅰ)由an,bn,an+1成等差数列,an,bn,an+1,bn+1成等比数列，
得：2b1=a1+a2,a22=b1b2，
∵a1=4,b1=8，
∴a2=2b1−a1=12，
b2=a22b1=18；
(Ⅱ)∵an,bn,an+1成等差数列，
∴2bn=an+an+1…①。
∵bn,an+1,bn+1成等比数列，
∴a2n+1=bnbn+1，
∵数列{an},{bn}的每一项都是正数，
∴an+1=bnbn+1−−−−−√…②。
于是当n⩾2时,an=bn−1bn−−−−−√…③。
将②、③代入①式,可得2bn−−√=bn−1−−−−√+bn+1−−−−√，
因此数列{bn−−√}是首项为22√,公差为2√的等差数列。
∴bn−−√=22√+2√(n−1)=2√(n+1)，
则bn=2(n+1)2.
由③式,可得当n⩾2时,an=bn−1bn−−−−−√=2n(n+1).
当n=1时,a1=4，满足该式子，
∴对一切正整数n,都有an=2n(n+1)；
(Ⅲ)证明：由(2)可知,所证明的不等式为13+111+123+…+12n2+2n−1<23.
∵12n2+2n−1=121n2+n−12<121n2+n−2=121(n−1)(n+2)=16(1n−1−1n+2) (n⩾2)，
∴当n⩾2时,1a1−1+1a2−1+…+1an−1<13+16(11−14+12−15+13−16+…+1n−1−1n+2)<13+16(1+12+13)=2336<23.
当n=1时,13<23.
综上所述,对一切正整数n,有1a1−1+1a2−1+…+1an−1<23.

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