Question

在三角形ABC中,∠BAC=80度,AC=AB,O为三角形中一点,∠OBC=10度,∠OCA=20度,求∠OAB.

Answer 1

两种做法：
1.∵AB=AC ∴∠B=∠C=50º ∴∠ABO=40º;∠OCB=30º;∠BOC=140º
设AB=AC=1,BO=X,BC=Y
在ΔBOC中:X/sin30º=Y/sin140º;
2X=Y/sin40º ∴sin40º=Y/2X
在ΔABC中:cos50º=(1²+Y²-1²)/(2*1*Y)
即sin40º=Y²/2Y
即Y/2X=Y/2 ∴X=1 ∴AB=BO
∴∠BAO=∠AOB=(180º-40º)/2=70º

2.以AB为边作正三角形ABE，连接DE，∠EAC=80－60=20。
因为AE=AB=AC，所以，∠AEC=(180°－20°)/2=80°，
于是，∠BEC=80°＋60°=140°=∠BOC。
而∠EBC=60°－(180°－80°)/2=10°=∠OBC，
所以，△BEC≌△BOC。
EC=OC，∠OCE=60°，△OCE为正三角形，OE=OC。
所以，△AOE≌△AOC，∠OAC=20°/2=10°。
所以，∠BAO=80°－10°=70°。

Answer 2

以BC为边向上做等边三角形DBC，连AD，
易证三角形DAB全等于三角形BCO，
所以AB=BO，
因为角ABO=40度，
所以角OAB=（180-40）/2=60度

Answer 3

楼上算错了，应为70度，但方法绝佳

Answer 4

70