Question

设函数f(x)在x=x0处二阶导数存在,且f"(x0)<0,f'(x0)=0,则必存在δ>0,使得

设函数f(x)在x=x0处二阶导数存在,且f"(x0)<0,f'(x0)=0,则必存在δ>0,使得
A.曲线y=f(x)在区间(x0-δ,x0+δ)上是凸的。
B.曲线y=f(x)在区间(x0-δ,x0+δ)上是凹的。
C.曲线y=f(x)在区间(x0-δ,x0]是严格单调增，在区间[x0,x0+δ)是严格单调减
D.曲线y=f(x)在区间(x0-δ,x0]是严格单调减，在区间[x0,x0+δ)是严格单调增

答案选C 
为什么A错误？？？

 

Answer 1

因为f''(x0)<0,则在x0的邻域内f'(x)单调减。
又f'(x0)=0
所在在x0的左邻域内f'(x)>0,在x0的右邻域内f'(x)<0
所以f(x)在x0的左邻域内单调增，在x0的右邻域内单调减。

A选项：那是对整个函数或函数的某个区间来说，对于一点x0，不能判断它是上凸的

所以选C

Answer 2

因为只给定了一点的二阶导数存在。

追问

没听懂😭 是区间内有些点可能不连续的意思么

再讲讲 还挺懂 可以画一个反例的大概图像嘛

追答

反例很麻烦，但是你注意到出了x0以外二阶导数的存在性没给就够了。

追问

二阶导数不存在会出现什么情况😳

追答

没告诉你二阶导数在附近是否存在，当然不能说凸凹性了。。。。

追问

好😳😳

追答

使用书上定理的时候严格按照条件，没有的不要乱想。你换个角度看，如果这种条件能对，在书上早形成定理了。

Answer 3

只给出某一点的函数的二阶函数值等零，是无法判断函数在某一具体区间上是上凸还是下凸。这一题明显A错误。

Answer 4

解：
g(x)=f(x)/x
g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2
分子的导数：h'(x)=(xf'(x)-f(x))'=xf''(x)+f'(x)-f’(x)=xf''(x)>0
故h(x)单调增加,h(x)>h(0)=0,分子h(x)=xf'(x)-f(x)>0
g'(x)>0,所以：
g(x)=f(x)/x在(0,+正无穷大)上单调增加