Question

已知四边形ABCD是菱形，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F。 1

已知四边形ABCD是菱形，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F。
1求证:AM=BM。
2若BF=2，求菱形ABCD的周长。

Answer 1

1. 证明：连接BD，

        ∵ 四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形对角线

        ∴ AC⊥BD，且相互平分

   又 ∵ EM⊥AC、且E为AD中点

       ∴ EM∥BD

           EM为△ABD中位线

       ∴ M为AB中点

       即 AM=BM

2. ∵ 四边形ABCD是菱形、BF为CB延长线

   ∴ BF∥AD

       M为AB上一点、E为AD上一点

   ∴ △AEM∽△BFM≌

   又∵：由1.知AM=BM

   ∴ △AEM≌△BFM

        AE=BF

       E为AD中点、BF=2

   ∴ AD=2AE=2BF=4

   ∵ 四边形ABCD是菱形

   ∴ 菱形ABCD的周长=4AD=4*4=16

   
   

Answer 2

解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AE=AM= 12AB= 12AD，
∴AM=DM．

（2）AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∠FMD=∠AME，△DFM是等腰三角形，
∴∠AME=∠AEM．
∴DF=DM= 12AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16

Answer 3

连接BD， 菱形对角线互相垂直平分， ME是中位线， 所以M是AB中点了

Answer 4

连接D B,根据菱形的性质，两对角线互相垂直，所以ME平行于DB,所以ME是三角形的中位线。所以AM=BM

又由此知道FB=ED 所以边长=4 ，周长=16