Question

已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R. ⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数

已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R.
⑴若函数f ﹙x﹚在[2,﹢∞)上是增函数,求实数a的取值范围
⑵若函数f ﹙x﹚在[1,e ]上的最小值为3,求实数a的值

Answer 1

1）由f'(x)=1/x-2a/x²=(x-2a)/x²>=0得：x>=2a
即当x>=2a时，函数单调增，
因此有2a<=2,
得a<=1
2)若2a<=1, 则函数在[1, e]上单调增，最小值为f(1)=2a=3, 得a=3/2, 矛盾；
若2a>=e, 则函数在[1, e]上单调减，最小值为f(e)=1+2a/e=3, 得a=e, 符合；
若1<2a<e时，则函数在[1, e]有极小值f(2a)=ln(2a)+1, 它也是区间内的最小值，故ln(2a)+1=3, 得：a=e²/2, 矛盾。
综合得：a=e

Answer 2

Answer 3

额