Question

已知抛物线y=2x^2+3x+m，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是

Answer 1

3^2-4*2*m=0
m=9/8

Answer 2

审题：

已知抛物线y=2x²+3x+m，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是

抛物线与x轴的公共点，就是抛物线与x轴的交点，就是方程2x²+3x+m=0的根。“当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点”，就是说抛物线在x∈（-1,1）区间，与x轴有且有一个交点，方程2x²+3x+m=0的根，有且仅有一个，位于（-1,1）区间。

求出抛物线与x轴的交点的x值：

y=0
2x²+3x+m=0
Δ=3²-4×2m=9-8m，
根据题意，交点存在，因此Δ=9-8m≥0，m≤9/8；

如果只有一个交点，m=9/8，
2x²+3x+9/8=0
16x²+24x+9=0
（4x+3）²=0
x=-3/4，在(-1,1)范围内，是一个解。

如果有两个交点，交点是：
x1=[-3-√（9-8m）]/4,x2=[-3+√（9-8m）]/4,x1<x2.
两种情况：x1在(-1,1)范围内，x2在(-1,1)右边；x2在(-1,1)范围内，x1在(-1,1)左边；

第一种情况：
m<9/8
-1<x1=[-3-√（9-8m）]/4<1
x2=[-3+√（9-8m）]/4≥1

-4<-3-√（9-8m）<4
-3+√（9-8m）≥4

-1<-√（9-8m）<7
√（9-8m）≥7

-7<√（9-8m）<1
√（9-8m）≥7
这两个式子是矛盾的，无解。

第二种情况：
m<9/8
-1<x1=[-3+√（9-8m）]/4<1
x2=[-3-√（9-8m）]/4≤-1

-4<-3+√（9-8m）<4
-3-√（9-8m）≤-4

-1<√（9-8m）<7
-√（9-8m）≤-1

-1<√（9-8m）<7
1≤√（9-8m）

公共部分：
1≤√（9-8m）<7
1≤9-8m<49
-8≤-8m<40
-40<8m≤8
-5<m≤1

结合：m<9/8,以及前面m=9/8
得到：
-5<m≤1，和m=9/8。