Question

已知a,b,c是不全相等的正数，求证

已知a,b,c是不全相等的正数，求证（b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c >3

Answer 1

左边=(b+c)/a-1+(c+a)/b-1 +(a+b)/c-1
=b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c-3
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3

b/a+a/b>=2根号(b/a*a/b)=2
同理
c/a+a/c>=2
c/a+b/c>=2
相加(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>=6
当a=b=c取等号
而已知知a,b,c是不全相等的
所以(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>6
所以(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3>6
即（b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c >3

Answer 2

左边=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c-6
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-6
>=(根号a*1/根号a+根号b*1/根号b+根号c*1/根号c)^2-6
=9-6=3
因为a,b,c是不全相等的正数，所以等号不成立，命题得证

Answer 3

（b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c >3
两边同乘abc 得（b+c-a)bc+(c+a-b)ac+ (a+b-c)ab>3abc
c(a平方-2ab+b平方）+b（c平方-2ac+a平方）+a（c平方-2bc+b平方）>0
c(a-b)（a-b）+b（c-a）（c-a) +a（c-b）（c-b)>0