Question

若a=（cosa,sina）,b=(cosb,sinb),且｜ka+b｜=√3｜a-kb｜，k＞0 ,问a与b能否垂直

若a=（cosa,sina）,b=(cosb,sinb),且｜ka+b｜=√3｜a-kb｜，k＞0 ,
问a与b能否垂直
若ab夹角为60,求k

Answer 1

若a、b垂直，则有：a*b=0。
将｜ka+b｜=√3｜a-kb｜两边同时平方得：
k^2*a^2+2ka*b+b^2=3a^2-2*3ka*b+3k^2*b^2 (1)
即： k^2*a^2+b^2=3a^2+3k^2*b^2
而:a^2=b^2=1,所以：
k^2+1=3+3k^2
k无解。所以a与b不能垂直。

若ab夹角为60，则有：a*b=|a|*|b|*cos60'=1/2|a|*|b|
由于|a|=|b|=1，所以：a*b=1/2
代入式（1）得：
k^2*a^2+k+b^2=3a^2-3k+3k^2*b^2
再代入a^2=b^2=1，可得：
k^2+k+1=3-3k+3k^2
解得：k=1