Question

为什么两个向量组等价，则两个向量组的秩相等

Answer 1

在代数中，因为如果两个向量组等价，则他们有相对的秩。

而向量组的秩就是和他对应的矩阵的秩。

所以两个向量组等价时他们对应矩阵的秩相等。

向量组等价，是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然，两个向量组的秩相同，是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。而两个矩阵等价，只能推出这两个向量组的秩相同，是两个向量组最大无关组可以相互线性表示的必要条件。

扩展资料

等价向量组的性质

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

Answer 2

我给你举个例子，向量组中向量的维数3阶封顶（高于3维的空间不好理解）。首先等价的前提是同维，这个要搞清楚。等价，书面语言是可互相（线性）表示。用大白话理解等价的二者“作用要完全相同，才能相互代表”即等价。
两个3维向两组分别代表两个向量的集合。假设其中一个能表示3维空间，那么他的秩一定是3（他的每一个极大线性无关组中的3个向量都可以构成3维空间的一组基，最简单的例子就是空间直角坐标系中的三个坐标轴可理解为3个向量，这三个向量就是其一个极大线性无关组）。那么另一个向量组与它等价，那么这个3维向量组也要可以表示3维空间，那么它的秩不可能是2，两个3维向量是无法表示3维空间的，只能表示2维空间（平面）。不可能大于3，只要它能表示3维空间，那么只需要三个线性无关的向量就够了，三维空间中其他所有向量都可由这组基表示，即其他的都是多余向量。所以它的秩不能大于三也不可能小于三。所以两个等价向量组的秩都是3.
以上完全可以向更高维推广，只是3纬以上空间现实生活中不存在，不好想象而已。
以上纯手打，希望对你能直观的理解这个问题有帮助。

Answer 3

我给你举个例子，向量组中向量的维数3阶封顶（高于3维的空间不好理解）。首先等价的前提是同维，这个要搞清楚。等价，书面语言是可互相（线性）表示。用大白话理解等价的二者“作用要完全相同，才能相互代表”即等价。
两个3维向两组分别代表两个向量的集合。假设其中一个能表示3维空间，那么他的秩一定是3（他的每一个极大线性无关组中的3个向量都可以构成3维空间的一组基，最简单的例子就是空间直角坐标系中的三个坐标轴可理解为3个向量，这三个向量就是其一个极大线性无关组）。那么另一个向量组与它等价，那么这个3维向量组也要可以表示3维空间，那么它的秩不可能是2，两个3维向量是无法表示3维空间的，只能表示2维空间（平面）。不可能大于3，只要它能表示3维空间，那么只需要三个线性无关的向量就够了，三维空间中其他所有向量都可由这组基表示，即其他的都是多余向量。所以它的秩不能大于三也不可能小于三。所以两个等价向量组的秩都是3.
以上完全可以向更高维推广，只是3纬以上空间现实生活中不存在，不好想象而已。
以上纯手打，希望对你能直观的理解这个问题有帮助。

Answer 4

题干不清无法回答