Question

求（sinx）的6次方的积分

Answer 1

两种降幂方法：

第一种：

sin⁶x。

= (sin²x)³。

= [(1 - cos2x)/2]³。

= (1/8)(1 - 3cos2x + 3cos²2x - cos³2x)。

= 1/8 - (3/8)cos2x + (3/8)[(1 + cos4x)/2] - (1/8)cos³2x。

= 5/16 - (15/32)cos2x + (3/16)cos4x - (1/32)cos6x。

第二种：

A(n) = ∫ sinⁿx dx。

= ∫ sinⁿ⁻¹xsinx dx。

= - ∫ sinⁿ⁻¹x d(cosx)。

= - sinⁿ⁻¹xcosx + ∫ cosx • d(sinⁿ⁻¹)。

= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ cosx • sinⁿ⁻²x • cosx dx。

= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ sinⁿ⁻²x • (1 - sin²x) dx。

= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2) - (n - 1)A(n)。

[1 + (n - 1)]A(n) = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2)。

∴∫ sin⁶x dx。

= (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)∫ sin⁴x dx。

= (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)[(- 1/4)sin³xcosx + (3/4)∫ sin²x dx]。

= (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx + (15/24)[(- 1/2)sinxcosx + (1/2)∫ dx]。

= (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx - (15/48)sinxcosx + 15x/48 + C。

Answer 2

如果是上限为π/2、下限是0的定积分，就等于5/6×3/4×1/2×π/2；
如果是不定积分，就要降次：利用cos2x=……有一点麻烦，不过可以算。还可以利用分部积分法……

Answer 3

7分之1乘以sinx的7次方

Answer 4

把sinx的6次，分为sinx的5次×sinx，再利用分步积分